Запустим поиск для доски с размерностью 4:

Solve(createEmptyBoard(4));

У меня возвращается вот такой массив:

Да, это решение. Попробуем поискать решение для доски с размерностью 2, функция должна вернуть false так как для этой доски нет решения:

Solve(createEmptyBoard(2)); // > false

Ага, программа работает как надо. А теперь давайте посмотрим на что способны наши железки и алгоритм. Соорудим небольшой тест производительности:

// Тест производительности, // @param {Natural} startSizeOfBoard Начальный размер доски // @param {Natural} endSizeOfBoard Конечный размер доски // @return {true} Тест закончился function benchmark(startSizeOfBoard, maxSizeOfBoard){ if(startSizeOfBoard>maxSizeOfBoard){ return true; }else{ console.log("Считаем для доски с размерностью:", startSizeOfBoard); var startTime = Date.now(); var solution = solve(createEmptyBoard(startSizeOfBoard)); var endTime = Date.now(); console.log("Решение:", solution.toString()); console.log("Затраченное время:", endTime - startTime, "миллисекунд"); return benchmark(startSizeOfBoard+1, maxSizeOfBoard); } }

В первый параметр этого теста надо передать интересующий начальный размер доски, во второй конечный размер доски. Тест поищет решение для досок размерность которых находится между переданным начальным размером и конечным. Начальный и конечный размер включены в этот интервал. Он так же посчитает время в миллисекундах, которое он затратил на этот поиск.

Вот мои результаты для досок от 1 до 9 на компьютере МакБук Эйр (1.8 гигагерц «Intel core i5», 4 гигабайта ОЗУ):

Benchmark(1,9);

Создавая такие тесты и строя графики на основе их данных мы можем узнать много интересного о задаче и алгоритме. Например, почему для поиска решения для доски с размерностью n=6 тратится 442 миллисекунды, а для доски с размерностью n=7 всего 5? Посмотрим на найденные решения:

Ага, решение доски с размерностью n=7 лежит прямо в первой ветке дерева, потому что ферзь стоит прямо в самой первой клетке. А вот с доской с размерность n=6 нам не повезло и алгоритму пришлось раскрывать больше ветвей дерева. Получается что с ростом размерности доски скорость поиска в нашем алгоритме не будет расти линейно, а что было бы если бы стояла задача найти все возможные решения? Подумайте над этим.

Так же в этих решениях содержится еще одна интересная закономерность: решение доски на 6 клеток как бы вложено в решение доски на 7 клеток. Иначе говоря если мы уберем первую строку и первый столбец из решения доски на 7 элементов мы получим решение для доски на 6 элементов. Забавно, я это заметил уже только когда делал визуализацию.

Заключение

Как мы видим по тестам производительности наш алгоритм не самый быстрый в мире и не позволяет получить ответ по щелчку пальцев. Но что у него не отнять так это то, что он отлично показывает силу деревьев и рекурсии.

С помощью деревьев мы организовали простую и эффективную структуру для хранения наших данных, а рекурсия помогла нам удобно организовать их обработку. Что мне нравится в этой парочке так это то, как одно очень красиво ложится на другое. Как будто это одно и тоже, просто представленное с другого ракурса.

А о методах ускорения поиска по деревьям поговорим в следующих статьях.

Рассмотрим такую любимую задачу на понимание алгоритмов, как «Задача о восьми ферзях». Классическое определение: «расставить на шахматной доске 8 ферзей так, чтобы ни один из них не бил другого». Ок, задачка очень популярная на разных собеседованиях, и Википедия нам сразу дает решение на моем любимом Python"е .

И это наверняка правильное решение с точки зрения обычного человека, но абсолютно бессмысленное с точки зрения хакера, и вот я вам расскажу почему:

Проанализируем алгоритм: используется классический поиск с возвратом, мы представляем область решений в виде графа, каждая вершина которого - это такое положение ферзя, в котором он не находится под боем, и не бьет уже расставленных на доске ферзей, т.е. нам надо только собрать все «ветки» состоящей ровно из восьми вершин. В качестве метода поиска этих «веток» автор нам предлагает классический алгоритм поиска в ширину, т.е. порядок обхода графа будет выглядеть так:

И как только алгоритм отработает мы получим все возможные решения.

Так в чем же проблема? В нашем случае, для доски 8х8, мы получим 92 различные решения, а представим, что, как это часто бывает в реальных задачах, мы не знаем размера доски. Если доска будет 25x25, как в тай сёги , тогда количество решений уже будет 275,986,683,743,434.

Таблица, зависимость количества решений от размера доски:

Что это будет значить для нашего скрипта? А то, что он уйдет в очень долгий поиск, и так-как все решения ему придется держать в уме, то уже через 15 мин Python будет съедать 300 мегабайтов памяти. Кто обладает мощным процессором и большим объемом оперативной памяти может проверить, завершиться ли этот процесс вообще...

А все, что нам требовалось при решении подобной задачи - подобрать правильный алгоритм обхода графа, которым в нашем случае оказался бы обычный поиск в глубину, тогда обход графа происходил бы в таком порядке:

А код был бы на много проще, и даже бы через 15 мин скрипт съедал бы ровно столько же памяти, как и через секунду после запуска. И вот бы как его реализация выглядела бы на Python"е:

Def rc_queens(n_col, width, sol): if len(sol) == width: print sol else: for n_row in range(width): if (safe_queen(n_row, n_col, sol)): rc_queens(n_col+1, width, sol+) def safe_queen(new_row, new_col, sol): for col in range(len(sol)): if (sol == new_row or abs(col - new_col) == abs(sol - new_row)): return 0 return 1 if __name__ == "__main__": for n in range(8): rc_queens(1, 8, [n])
P.S. Это всего лишь взгляд на проблему со стороны хакера, может кто-то предложит взгляд со стороны «theoretical computer science»?

Рассмотрим такую любимую задачу на понимание алгоритмов, как «Задача о восьми ферзях». Классическое определение: «расставить на шахматной доске 8 ферзей так, чтобы ни один из них не бил другого». Ок, задачка очень популярная на разных собеседованиях, и Википедия нам сразу дает решение на моем любимом Python"е .

И это наверняка правильное решение с точки зрения обычного человека, но абсолютно бессмысленное с точки зрения хакера, и вот я вам расскажу почему:

Проанализируем алгоритм: используется классический поиск с возвратом, мы представляем область решений в виде графа, каждая вершина которого - это такое положение ферзя, в котором он не находится под боем, и не бьет уже расставленных на доске ферзей, т.е. нам надо только собрать все «ветки» состоящей ровно из восьми вершин. В качестве метода поиска этих «веток» автор нам предлагает классический алгоритм поиска в ширину, т.е. порядок обхода графа будет выглядеть так:

И как только алгоритм отработает мы получим все возможные решения.

Так в чем же проблема? В нашем случае, для доски 8х8, мы получим 92 различные решения, а представим, что, как это часто бывает в реальных задачах, мы не знаем размера доски. Если доска будет 25x25, как в тай сёги , тогда количество решений уже будет 275,986,683,743,434.

Таблица, зависимость количества решений от размера доски:

Что это будет значить для нашего скрипта? А то, что он уйдет в очень долгий поиск, и так-как все решения ему придется держать в уме, то уже через 15 мин Python будет съедать 300 мегабайтов памяти. Кто обладает мощным процессором и большим объемом оперативной памяти может проверить, завершиться ли этот процесс вообще...

А все, что нам требовалось при решении подобной задачи - подобрать правильный алгоритм обхода графа, которым в нашем случае оказался бы обычный поиск в глубину, тогда обход графа происходил бы в таком порядке:

А код был бы на много проще, и даже бы через 15 мин скрипт съедал бы ровно столько же памяти, как и через секунду после запуска. И вот бы как его реализация выглядела бы на Python"е:

Def rc_queens(n_col, width, sol): if len(sol) == width: print sol else: for n_row in range(width): if (safe_queen(n_row, n_col, sol)): rc_queens(n_col+1, width, sol+) def safe_queen(new_row, new_col, sol): for col in range(len(sol)): if (sol == new_row or abs(col - new_col) == abs(sol - new_row)): return 0 return 1 if __name__ == "__main__": for n in range(8): rc_queens(1, 8, [n])
P.S. Это всего лишь взгляд на проблему со стороны хакера, может кто-то предложит взгляд со стороны «theoretical computer science»?

Первый вариант головоломки 1850 года, когда два ферзя заранее установлены на доску, а игрок должен расставить остальных ферзей (два решения задачи см. под катом)

Задача о N ферзях состоит в том, чтобы разместить N ферзей на доске размером N×N таким образом, чтобы ни один ферзь не находился под боем другого, при этом на доске заранее установлены несколько ферзей. То есть в итоге никакие два ферзя не должны находиться на одной линии или диагонали. Впервые задачку сформулировали в 1848 году, а в 1850 году придумали вариант головоломки, когда некоторое количество ферзей заранее поставлено на доску, а игрок должен расставить остальных, если это возможно.

Исследователи из Сент-Эндрюсского университета (Шотландия) опубликовали , в которой доказывают, что задача о N ферзях является не только #P-полной задачей, но также NP-полной задачей. Более того, Математический институт Клэя (США) готов заплатить миллион долларов любому, кто сможет оптимизировать решение этой задачи как задачи на доказательство P=NP.

Как известно, в теории сложности #P является классом проблем, решением которых является количество успешных, то есть, завершающихся в допускающих состояниях, путей вычислений для некой недетерминированной машины Тьюринга, работающей полиномиальное время. Вычислительные задачи класса #P (counting problems) связаны с соответствующими задачами разрешимости (decision problems) класса NP.

Учёные отмечают, что эта задача может быть самой простой среди NP-полных задач, чтобы объяснить суть этих проблем любому человеку, который знает правила игры в шахматы. У этой задачи вообще очень интересная история. В своё время она привлекла внимание Гаусса, который даже сделал небольшую ошибку в её решении (на доске 8×8 он сообщил о 76 решениях, но потом сам признал четыре из них ошибочными, так что остались только 72, а позже Гаусс установил все 92 решения для доски 8×8).

Обобщение задачи для доски N×N привлекло внимание многих математиков. За последние полвека вышло несколько десятков научных работ, посвящённых этой проблеме. Как минимум шесть из них цитируются более 400 раз на Google Scholar: это Golomb & Baumert, 1965; Bitner & Reingold, 1975; Mackworth & Freuder, 1985; Minton, Johnston, Philips, & Laird, 1992; Selman, Levesque & Mitchell, 1992; Crawford, Ginsberg, Luks, & Roy, 1996.

Сложность задачи о N ферзях часто неправильно оценивают. Даже в обильно цитируемых работах её часто называют NP-сложной задачей (NP-hard), но она будет таковой только при условии, что P=NP. На самом деле вычислительный вариант задачи, то есть определение количества решений для N ферзей, представляет собой последовательность A000170 из Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей. Эта последовательность сейчас известна максимум для n=27, где количество решений превышает 2,34×10 17 . Не известно ни одно более эффективное решение проблемы, чем простой перебор. Так, для n=27 в 2016 году использовался масштабный параллельный поиск на FPGA.

В то же время, если компьютер начнёт перебор возможных положений ферзей на доске 1000×1000 клеток, то он загрузится этой задачей навечно. По мнению учёных, если некто найдёт действительно быстрый и эффективный способ решения, то сможет извлечь из этого гораздо бóльшую выгоду, чем один миллион долларов от Математического института Клэя. «Если вы напишете программу, которая может решить проблему действительно быстро, вы могли бы адаптировать её для решения многих важных задач, с которыми мы сталкиваемся ежедневно, - говорит профессор информатики Ян Гент (Ian Gent), один из авторов научной работы. - Среди них тривиальные проблемы, такие как поиск самой большой группы ваших друзей в Facebook, которые не знают друг друга, или очень важные задачи, например, взлом кодов, которые обеспечивают безопасность всех наших онлайн-транзакций».

Но это чисто теоретические измышления. На практике никто пока не приблизился к решению задачи о N ферзях быстрым и эффективным способом. За доказательство, что существует более эффективный способ решения задачи, чем простой перебор всех вариантов, дадут миллион долларов.

Глава 8. Задача о восьми ферзях

Задача о восьми ферзях, как и задача о ходе коня, является одной из самых знаменитых математических задач на шахматной доске. Если задачей о коне занимался Леонард Эйлер, то задача о ферзях привлекла внимание другого великого математика - Карла Гаусса.

Сколькими способами можно расставить на шахматной доске восемь ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу, т. е. никакие два не стояли на одной вертикали, горизонтали и диагонали?

Найти ту или иную расстановку ферзей, удовлетворяющую условию задачи, не так трудно (четыре решения приведены на рис. 43). Значительно труднее подсчитать общее число существующих расстановок; собственно, в этом и состоит задача о восьми ферзях. Ясно, что как и в случае ладей, больше восьми не атакующих друг друга ферзей на шахматной доске расставить невозможно. И, соответственно, на доске n×n необходимым образом нельзя расставить более n ферзей (в общем виде задача будет рассмотрена несколько ниже).

Рис. 43. Восемь ферзей, не угрожающих двуг другу на шахматной доске

Любопытно, что многие авторы ошибочно приписывают задачу о восьми ферзях и ее решение самому Гауссу. На самом деле первым ее сформулировал в 1848 г. немецкий шахматист М. Беццель. Доктор Ф. Наук (слепой от рождения) нашел 60 решений и опубликовал их в газете «Illustrierte Zeitung» от 1 июня 1850 г. Лишь после этого Гаусс увлекся задачей и нашел 72 решения, которые сообщил в письме к своему другу астроному Шумахеру от 2 сентября 1850 г. Полный же набор решений, состоящий из 92 позиций, получил все тот же Ф. Наук (он привел их в упомянутой газете от 21 сентября 1850 г.). Эта хронология установлена известным немецким исследователем математических развлечений В. Аренсом, который в своих книгах немало места уделил рассматриваемой задаче.

Доказательство того, что 92 решения исчерпывают все возможности, было получено лишь в 1874 г. английским математиком Д. Глэшером (при помощи теории определителей).

В принципе, расставляя на доске восемь ферзей всевозможными способами, мы в конце концов найдем все устраивающие нас расстановки. Однако этот путь чересчур долог и скучен. Можно ограничиться только решениями соответствующей задачи о ладьях и отобрать среди них такие, в которых никакая пара ладей не стоит па одной диагонали. Но и в этом случае перебор довольно велик (понадобятся, как мы знаем, более 40000 попыток). Таким образом, при решении задачи «вручную» (а именно так поступали в прошлом веке) вынужденный перебор расстановок должен быть хорошо продуман. Известно много способов организовать более или менее разумный поиск искомых расположений ферзей (методы Пермантье, Ла-Ное, Гюнтера, Глэшера, Лакьера и др.). Эти способы описаны в многочисленной литературе по занимательной математике (в основном в прошлом столетии и начале нынешнего). В наш век вычислительных машин задача такого сорта не смогла бы вызвать столь живой интерес. Ведь достаточно составить несложную программу для ЭВМ - и уже через несколько минут после ее введения в машину все 92 необходимые позиции будут выданы на печать.

Из каждого решения задачи о ферзях можно получить ряд других при помощи поворотов (вращений) доски вокруг центра на 90, 180 и 270° по часовой стрелке (поворот на 360° приводит к исходной позиции). Из данной расстановки ферзей новую можно получить также зеркальным отражением доски относительно одной из пунктирных прямых на рис. 43 (1-я позиция) . Например, из первой расстановки на этом рисунке при повороте доски на 90° мы получаем третью, а при отражении относительно линии, разделяющей королевский и ферзевый фланги, - четвертую. При помощи других поворотов и отражений можно получить еще пять решений.

Итак, при поворотах и отражениях доски из одной расстановки ферзей получаются, вообще говоря, семь новых. Доказано, что в общем случае на доске n×n (при n > 1) для любой расстановки n ферзей, не угрожающих друг другу, возможны лишь три ситуации: а) при одном отражении доски получается новая расстановка, а повороты и другие отражения ничего нового не дают; б) новое решение получается при повороте доски на 90°, а отражения дают еще две расстановки; в) все три поворота и четыре отражения доски приводят к восьми несовпадающим расстановкам (включая исходную).

В случае а) исходное решение называется дважды симметрическим, в случае б) - симметрическим, а в случае в) - простым. Для обычной доски каждое решение является либо простым, либо симметрическим, а дважды симметрических не существует. Алгебраическую интерпретацию решений каждого класса можно найти у Окунева.

Множество (набор) расстановок восьми ферзей называется основным,если они, во-первых, не переходят друг в друга при поворотах и отражениях доски, и, во-вторых, любая другая расстановка получается из какой-нибудь основной при помощи этих преобразований. Известно, что всякий набор основных решений задачи содержит ровно 12 позиций (расстановок восьми ферзей). Приведем одип из таких наборов:

Остальные 80 позиций получаются из этих двенадцати в результате поворотов и отражений доски. Первые 11 расстановок являются простыми, и лишь последняя - симметрической. Таким образом, всего на доске существует 11×8 + 1×4 = 92 расстановки восьми ферзей, не угрожающих друг другу.

Рассматривая основные расстановки, можно обнаружить те или иные интересные особенности их. Например, легко заметить внешнюю симметрию последней расстановки (2-я позиция на рис. 43). Это основное решение, единственное в своем роде, характеризуется также тем, что только у него центральная часть доски (квадрат 4×4) свободна от ферзей. Еще одно его свойство состоит в том, что ферзями не занята главная диагональ доски a1 - h8 (этим свойством обладает и первое основное решение).

Первая расстановка на рис. 43 любопытна тем, что здесь никакие три ферзя не стоят на одной прямой, проведенной через центры полей (имеются в виду не только вертикали, горизонтали и диагонали доски* но и прямые с другими углами наклона).

Всякое решение задачи можно записать, как набор (t 1 , t 2 , … t 8), представляющий собой перестановку чисел 1, 2, …, 8. Здесь ti - номер горизонтали, на которой стоит ферзь i-й вертикали. Так как никакие два ферзя не находятся на одной горизонтали, то все t x различны, а поскольку ферзи не стоят и на одной диагонали, то для любых i, j (i < j ≤ 8) имеем: |t j - t i | ≠ j - i.

Числовая запись расстановок ферзей иногда бывает очень удобной. Например, для нахождения расстановок при фиксированном расположении ферзя на a1 достаточно из всех 92 позиций, записанных в числовой форме, отобрать такие, у которых первая координата равна 1. Если фиксировано положение ферзя на d3, то следует выделить позиции, у которых на четвертом месте стоит число 3, и т. д.

Запишем числа 1, 2, …, 8 сначала по возрастанию, а потом по убыванию. После этого сложим числа каждой из этих двух перестановок с числами произвольной перестановки, например (3, 7, 2, 8, 5, 1, 4, 6):

Полученные суммы образуют два набора чисел: (4, 9, 5, 12, 10, 7, 11, 14) и (11, 14, 8, 13, 9, 4, 6, 7). Возникает следующая задача.

Какие перестановки чисел 1, 2,…, 8 дают в результате указанной операции сложения два таких набора, в каждом из которых все числа различны?

Задача о восьми ферзях заинтересовала Гаусса именно в связи с этой чисто арифметической задачей. Оказывается, между решениями задачи о ферзях и решениями описанной арифметической задачи существует взаимно однозначное соответствие. Другими словами, каждая расстановка восьми ферзей, не угрожающих друг другу, дает решение арифметической задачи - и наоборот. Для выбранной перестановки оба набора состоят из различных чисел, и это не случайно - она соответствует первой позиции на рис. 43.

Нетрудно видеть, что при поворотах n отражениях доски одни решения получаются из других при помощи простых арифметических операций над координатами полей, занятых ферзями. Исследование этих операций позволяет обнаружить дополнительные свойства решений (некоторые из которых приведены у Окунева).

Задача о n ферзях. На шахматной доске n×n расставить n ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу.

На доске 1×1 один ферзь ставится на единственное поле, и решение существует. На доске 2×2 один ферзь, где бы он ни стоял, угрожает всем полям доски, и второго ферзя поставить некуда. При любой расстановке трех ферзей на доске 3×3 хотя бы два из них угрожают друг другу. Итак, при n, равном 2 или 3, задача не имеет решений.

Что касается случаев n > 3, то известно, что на любой доске n×n можно расставить n ферзей так. чтобы они не угрожали друг другу. Доказательству этого далеко не очевидного факта посвящено много статей, в том числе в серьезных математических изданиях.

На доске 4×4 существует единственная основная расстановка, причем дважды симметрическая (a2, b4, c1, d3), т. е. всего здесь имеется два решения. На доске 5×5 основных расстановок две: 1) a2, b4, c1, d3, e5; 2) a2, b5, c3, d1, e4; всего же имеется десять искомых позиций. Интересно, что из них можно выбрать пять таких, при наложении которых друг на друга 25 ферзей заполнят все поля доски 5×5. Аналогичное наложение в общем случае возможно только при тех и, которые не делятся ни на 2, ни на 3. Из этого, в частности, следует, что для обычной доски подобрать восемь решепий, для которых ферзи заполняют всю доску, невозможно.

Обобщая указанное выше алгебраическое свойство решений задачи о восьми ферзях, получаем, что расстановка (t 1 , t 2 , … t n) n ферзей на доске n×n является искомой, если для любых i, j (i < j < n): |t j - t i | ≠ j - i. Здесь по-прежнему t i - номер горизонтали, на которой стоит ферзь i-й вертикали, а набор t 1 , …, t n есть перестановка чисел 1, …, п. Таким образом, для решения задачи в общем случае достаточно найти перестановку чисел 1, …, n, удовлетворяющую указанному условию.

Сейчас мы опишем одну возможную схему искомого расположения n ферзей на доске n×n при всех n > 5. Доказательство того, что в полученных расстановках наше условие выполняется, можно найти, например, у Окунева или у Ягломов.

Рассмотрим последовательно ряд случаев. Пусть сначала n четно, причем n = 6k или n = 6k + 4. Половину всех ферзей поставим на первых n/2 вертикалях ходом коня, начиная со второй горизонтали и передвигаясь каждый раз на 2 поля вверх и на 1 вправо. Вторую половину поставим на оставшихся n/2 вертикалях тем же способом, но начиная с первой горизонтали. Для доски 6×6 (n = 6k, k = 1) это дает такую расстановку ферзей: a2, b4, c6, d1, e3, f5 (решение, представленное на рис. 45 для n = 10, получается иным образом).

При n = 6k + 2 предыдущий прием уже не проходит, и ферзей приходится расставлять более «хитрым» способом. Расположим их ходом коня со второй вертикали по

(n/2 - 2)-ю, начиная с третьей горизонтали, и далее с

(n/2 + 3)-й вертикали по (n - 1)-ю, начиная с шестой горизонтали. В результате свободными останутся шесть вертикалей и шесть горизонталей доски, на которых шесть ферзей должны занять поля с такими координатами: (1, n - 3), (n/2 - 1, 1); (n/2, n - 1), (n/2 + 1, 2), (n/2 + 2, n), (n, 4). При n = 14 (n = 6k + 2, k = 2) получаем расстановку на рис. 44. Кстати, на обычной доске 8×8 (8 = 6k + 2, к = 1) расстановка восьми ферзей указанным способом совпадает все с тем же замечательным решением на рис. 43 (2-я позиция), но заметить закономерность расположения ферзей здесь вряд ли возможно.

Нам осталось рассмотреть задачу для нечетных значений n. Чтобы получить решение в этом случае, достаточно заметить, что в предложенных нами расстановках на «четных» досках главная диагональ (идущая из левого нижнего угла в правый верхний) оставалась свободной. Учитывая это обстоятельство, искомую расстановку n ферзей на доске n×n (при нечетном n) можно получить следующим образом. На вертикалях и горизонталях этой доски с номерами от 1 до (n - 1) расставим (n - 1) ферзя так, как это делается на доске (n - 1)×(n - 1) (n - 1 четно!), а затем n-то ферзя расположим в правом верхнем углу доски. Описанным способом можно получить первую расстановку ферзей на доске 5×5 из указанной расстановки на доске 4×4, а из расстановки ферзей на доске 6×6 имеем следующую для n = 7: a2, b4, c6, d1, e3, f5, g7.